Hoe factor

Brengt het zien van een nummer of uitdrukking, vergezeld van de instructies, 'Factor volledig', angst in uw hart? Wens je aandacht in algebra? Welnu, deze instructable leert je hoe je een getal, of een geschikte uitdrukking zoals Ax ^ 2 + Bx + C, kunt factoreren.

Stap 1: Factoring Numbers

Ten eerste, wat is een factor?

"Natuurlijke getallenfactoren" zijn de volledige set van hele getallen, waarbij als u één getal in de set vermenigvuldigt met een ander in de set, u het nummer krijgt dat u in rekening brengt.

Nummer 5 heeft bijvoorbeeld twee factoren: 1 en 5. Nummer 6 heeft vier factoren: 1, 2, 3 en 6.

"Integer-factoren" omvatten negatieve getallen.

Het getal 5 zou in dit geval vier factoren hebben: -5, -1, 1 en 5. 6 zou acht factoren hebben: -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3 en 6.

(Natuurlijke getallen zijn getallen zonder breuken, beginnend bij 1, 2, 3, 4, 5 ... helemaal tot oneindig. Gehele getallen zijn natuurlijke getallen, evenals hun negatieve tegenhangers en 0, of ...- 5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...)

Getallen berekenen met de natuurlijke getallenreeks is eenvoudig. Elk nummer heeft minstens twee factoren. Om andere factoren te vinden, begint u met het delen van het getal vanaf twee en werkt u omhoog totdat u dat getal bereikt, gedeeld door 2. Elk quotiënt dat geen rest heeft, betekent dat zowel de deler als het quotiënt factoren zijn van dat getal.

Stel dat je het getal 9 moet berekenen. Je kunt niet gelijkmatig door twee delen, dus we slaan het over. (Let op de oplossing, 4.5, zodat u weet wanneer u later moet stoppen.) 9 is deelbaar door 3, dus voeg 3 toe aan uw lijst met factoren. Werk je omhoog totdat je deelt door 5 (9 gedeeld door 2, naar boven afgerond). Je krijgt 1, 3 en 9 als een lijst met factoren.

Als u getallen in het geheel getal meetelt, kunt u gewoon het negatieve equivalent van uw oplossingen toevoegen door natuurlijke getallen in te rekenen. Dus 9 zou factoren hebben van -9, -3, -1, 1, 3 en 9.

Negatieve getallen ontbinden kan alleen met integer factoring. De oplossing is dezelfde die u krijgt, rekening houdend met de positieve versie van het nummer. -9 heeft factoren van -9, -3, -1, 1, 3 en 9.

Nul is het enige gehele getal met een oneindig aantal factoren en is de enige die nul als factor heeft.

Stap 2: Factoring van de GCF vanuit een expressie

En nee, ik bedoel niet dat je rekening houdt met de uitdrukking van je baas terwijl je hem vertelt dat je per ongeluk de pauzeruimte overspoeld hebt met koffie.

Algebraïsche uitdrukkingen bestaan ​​uit getallen, die coëfficiënten worden genoemd, en variabelen die tot een macht kunnen worden verheven. In de uitdrukking x ^ 2 + 6x + 8 is 1 de coëfficiënt van x ^ 2, de variabele. (Als je een coëfficiënt niet voor een variabele ziet, is het een 1, omdat x ^ 2 wordt vermenigvuldigd met 1.) Evenzo is 6 een coëfficiënt van x ^ 1. (Een eenzame variabele wordt verhoogd tot een macht van één.) 8 wordt een constante genoemd - deze wordt niet vermenigvuldigd met een variabele. (U kunt visualiseren dat het wordt vermenigvuldigd met x ^ 0 en elk getal dat wordt verhoogd tot de 0e macht is gelijk aan 1).

Om een ​​uitdrukking te factoreren, moet je beginnen met het uitrekenen van de GCF, of Greatest Common Factor. Maak een lijst van de factoren van elk onderdeel van de uitdrukking. Hier zijn we geïnteresseerd in het vinden van de natuurlijke getalfactoren.

De uitdrukking x ^ 2 + 6x + 8 zou factoren hebben die er als volgt uitzien:

x ^ 2: 1
6x: 1, 2, 3, 6
8: 1, 2, 4, 8

Als je naar de drie lijsten kijkt, is er maar één ding dat ze allemaal gemeen hebben, de nummer één. Dit betekent dat er geen coëfficiënt groter is dan één om uit te rekenen.

Vervolgens kijk je naar de bevoegdheden van de exponenten. 2, 1 en 0. Als u een nul ziet, kan de uitdrukking niet worden verwerkt door een variabele.

Deze uitdrukking is klaar voor de volgende stap.

Hier is een voorbeeld dat wel een GCF heeft waar rekening mee moet worden gehouden: 2x ^ 3 + 18x ^ 2 + 10x. Factor elk onderdeel:

2x ^ 3: 1, 2
18x ^ 2: 1, 2, 3, 6, 9, 18
10x: 1, 2, 5, 10

Hier zien we dat de delen 1 en 2 gemeen hebben. We vinden het grootste aantal, 2.

Vervolgens kijken we naar de krachten van exponenten: 3, 2 en 1. Zoek het kleinste getal dat niet 0 is, in dit geval de nummer één. Dat betekent dat x ^ 1, of simpelweg x, kan worden verdeeld in de uitdrukking.

Vermenigvuldig het aantal en de variabele samen om 2x te krijgen. Verdeel vervolgens elk deel van de uitdrukking door 2x.

2x ^ 3 / 2x = x ^ 2
18x ^ 2 / 2x = 9x
10x / 2x = 5

De uitdrukking met de GCF uitgewerkt is 2x (x ^ 2 + 9x + 5). Merk op dat u de gefactureerde uitdrukking tussen haakjes moet plaatsen en de GCF ernaast moet schrijven.

Stap 3: Binomials factoriseren

Binomials zijn uitdrukkingen waaraan slechts twee termen worden toegevoegd.

2x ^ 2 - 4x is een voorbeeld van een binominale. (Je kunt zeggen dat er een min 4x wordt opgeteld bij 2x2.)

Factor eerst de GCF, 2x. Je blijft zitten met 2x (x - 2). Dit is zo ver als deze binominale kan gaan. Elke binomiaal in de vorm 1x +/- n kan niet verder worden verwerkt.



Als je een binominale variabele hebt met een even exponent, opgeteld bij een negatief getal met een vierkantswortel dat een natuurlijk getal is, wordt dit een perfect vierkant genoemd.

x ^ 2-4 is hiervan een voorbeeld. Het kan worden uitgedrukt als het product van de vierkantswortel van de variabele plus de vierkantswortel van de positieve constante, en de vierkantswortel van de variabele minus de vierkantswortel van de positieve constante.

Huh?

Neem in feite de vierkantswortel van de variabele. Je eindigt met x. Dan vierkantswortel 4. Je krijgt er 2. Als je ze bij elkaar optelt, krijg je x + 2. Trek ze af en je krijgt x-2. Vermenigvuldig de twee en je krijgt (x + 4) (x-4). Je hebt zojuist een perfect vierkant in rekening gebracht.

Als je (x + 2) (x-2) samen vermenigvuldigt met FOIL, krijg je een back-up met x ^ 2-4.

(FOLIE: First Outer Inner Last, een manier om twee binomials samen te vermenigvuldigen. Vermenigvuldig de eerste termen van de binomials (x en x in dit geval), dan de buitenste twee (x en -2), dan de binnenste twee (2 en x), dan de laatste termen (2 en -2), tel ze dan allemaal bij elkaar op. x ^ 2 - 2x + 2x - 4 = x ^ 2 - 4.)

Dit kan opnieuw worden gedaan als een van de binomialen een perfect vierkant is, zoals in dit geval:

x ^ 4-16 = (x ^ 2 + 4) (x ^ 2-4) = (x ^ 2 + 4) (x + 2) (x - 2).

Dit kan verder in aanmerking worden genomen als u irrationele getallen invoert, zie stap [9].



Hoe binomials te factoreren in de vorm van (x ^ 3 + b ^ 3):

Sluit gewoon aan op (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2). Bijvoorbeeld (x ^ 3 + 8) = (x - 2) (x ^ 2 + 2x + 4).

Hoe binomials te factoreren in de vorm van (x ^ 3 - b ^ 3):

Sluit aan op (a + b) (a ^ 2 - ab + b2). Merk op dat de eerste twee tekens in de uitdrukking worden verwisseld.

(x ^ 3 - 8) = (x + 2) (x ^ 2 - 2x + 4).

Beide voorbeelden kunnen verder in aanmerking worden genomen zodra u in stap [4] leert hoe u trinominale factoren kunt bepalen.

Stap 4: Trinomials in rekening brengen

Trinomials: een uitdrukking met drie termen bij elkaar opgeteld. 2x ^ 2 + 6x - 8 zal dienen als onze gelukkige demonstrator.

Bepaal eerst de GCF. Dit zal ALTIJD je eerste stap zijn bij het berekenen van ELKE uitdrukking.

2 (x ^ 2 + 3x - 4)

Als u na het negeren van de GCF een macht van x groter dan twee krijgt, gaat u verder met een andere stap.

Maak een lijst van de gehele factoren van de constante. Je wilt er twee als volgt koppelen:

-4, 1
-2, 2
-1, 4

U wilt een van deze vinden die, bij opgeteld, gelijk is aan de coëfficiënt van de tweede term, 3. -1 + 4 = 3. Schrijf vanaf hier twee sets haakjes op met x erin:

(x) (x)

Plak vervolgens de twee termen die tussen haakjes werkten.

(x - 1) (x + 4)

Vergeet niet de GCF weer toe te voegen.

2 (x - 1) (x + 4)

Zo bepaal je een trinominale.

Hier is er nog een: 2x ^ 2 + 11x - 6.

Er is deze keer een wending: de coëfficiënt van x ^ 2 is niet 1. Dit betekent dat we nog een stap zullen toevoegen:

Noem factoren van de constante, -6, evenals de coëfficiënt van x2, 2.

-6, 1
-3, 2
-2, 3
-1, 6

1, 2

Nu wil je elk van de factoren aan de linkerkant vermenigvuldigen met 1 en aan de rechterkant met 2. Herhaal dit door de 1 en 2 om te wisselen.

-6, 2
-3, 4
-2, 6
-1, 12
-12, 1
-6, 2
-4, 3
-2, 6

Zoek het paar dat de coëfficiënt van de middelste term opsomt, in dit geval -1 + 12 = 11. Zet de haakjes:

(x) (x)

Blijf bij de originele nummers (die je had voordat je vermenigvuldigde met 1 en 2):

(x - 1) (x + 6)

Steek dan de een en twee in als coëfficiënten van x, zodat wanneer je de uiterlijke en innerlijke termen vermenigvuldigt en ze bij elkaar optelt, je 11 krijgt.

(2x - 1) (x + 6)

Als je je werk bekijkt door het te FOILEN, krijg je 2x ^ 2 + 11x - 6, de uitdrukking waarmee je bent begonnen. Proficiat!

Stap 5: Trinomials factoriseren door vervanging

9x ^ 4 + 45x ^ 2 + 14.

Denk je niet dat deze uitdrukking gemakkelijker zou zijn om rekening te houden met kleinere getallen en variabele krachten?

Je kunt een lager getal en een variabel vermogen als volgt vervangen:

Stel n = 3x ^ 2 in (de GCF van de variabele krachten en de vierkantswortel van de GCF van de coëfficiënten van getallen vermenigvuldigd met een macht van x). Vervang het dan door de termen in de oorspronkelijke uitdrukking te delen door n.

n ^ 2 + 15n + 14.

Nu kunt u er gemakkelijk rekening mee houden.

(n + 14) (n + 1).

Steek de 3x ^ 2 terug in de uitdrukking waar de n's zijn.

(3x ^ 2 + 14) (3x ^ 2 + 1).

Stap 6: de kwadratische vergelijking

Als geen van de combinaties die u krijgt (vanaf stap 4) goed klopt, moet u de kwadratische vergelijking gebruiken.

(-b +/- sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / 2a

(sqrt (#) = vierkantswortel van #)

Waar een trinominaal de vorm ax ^ 2 + bx + c heeft.

Dus als je de kwadratische formule met 1x ^ 2 + 3x + 2 wilt gebruiken, zou je het zo aansluiten:

(-3 +/- sqrt (3 ^ 2-4 (-2) (1)) / 2.

Dit vereenvoudigt tot (-3 +/- sqrt 17) / 2. De factoren van 1x ^ 2 + 3x + 2 zijn (x - ((-3 + sqrt 17) / 2)) (x - ((-3 - sqrt 17) / 2)). (Je plakt het antwoord rechts van een "x -". Meer over waarom dat werkt, in stap [8].)

Stap 7: Polynomen factoren door te groeperen

Soms krijg je vier of meer termen, die er ongeveer zo uitzien:

2x ^ 2 + 6x ^ 3 + 5x ^ 7 + 15x ^ 8

Er is geen gemeenschappelijke coëfficiënt en het uitrekenen van x ^ 2 helpt niet veel. Dit is waar u groepering zou gebruiken om rekening te houden.

Groeperen betekent dat de GCF slechts uit twee termen van de uitdrukking wordt berekend. Je kunt zien dat 2x ^ 2 + 6x ^ 3 en 5x ^ 7 + 15x ^ 8 beide een GCF kunnen verwijderen. Doen.

2x ^ 2 (1 + 3x) + 5x ^ 7 (1 + 3x)

Merk op dat er een gemeenschappelijke factor is, 1 + 3x. Deze uitdrukking kan worden geherformuleerd naar (2x ^ 2 + 5x ^ 7) (1 + 3x). Daar is je antwoord.

Merk op dat (2x ^ 2 + 5x ^ 7) (1 + 3x) verder in aanmerking kan worden genomen door een x ^ 2 uit de eerste binominale factor uit te rekenen: x ^ 2 (2 + 5x ^ 5) (1 + 3x).

Stap 8: Polynomen factoren per synthetische divisie

Soms krijg je beestachtige polynomen die eruitzien alsof ze geen hoop hebben.

3x ^ 3 + 8x ^ 2 - 9x + 2 is een voorbeeld. U kunt groepering niet gebruiken om een ​​GCF uit te rekenen op een manier die een gemeenschappelijke factor zou opleveren.

Om uit te leggen hoe dit werkt, moet je weten dat wanneer je een vergelijking oplost door factoring, je het uitgesplitste ding gelijk moet stellen aan 0 en moet uitzoeken wat X gelijk is, zodat het gelijk is aan nul. Bijvoorbeeld 0 = (x - 2) (x + 1). De oplossingen zijn 2 en -1.

Als een polynoom gehele coëfficiënten heeft, heeft elke nul of oplossing de vorm P / Q, waarbij P = een factor van de constante term en Q = een factor van de leidende coëfficiënt.

Kortom, als u alle factoren van de constante opsomt en ze deelt door de factoren van de leidende coëfficiënt (de coëfficiënt naast de variabele met het hoogste vermogen) in elke combinatie, krijgt u een lijst met mogelijke rationele oplossingen. Hoe helpt dit je factor? Als je 2 als oplossing krijgt, kun je achteruit werken en zeggen dat een van de factoren van de vergelijking (x - 2) was.

Dus, terug naar het voorbeeld:

Factoren van 2: +/- 1, +/- 2 (u moet negatieven opnemen)
Factoren van 3: +/- 1, +/- 3

P / Q: +/- 1, +/- 1/3, +/- 2, +/- 2/3

Zodra u uw lijst heeft, gebruikt u iets dat synthetische divisie wordt genoemd om te zien welke van die P / Q's eigenlijk oplossingen zijn.

Synthetische deling is een manier om polynomen te delen door een binominaal van de vorm xk. Ik ga niet uitleggen hoe het werkt, maar laat alleen zien hoe je het kunt gebruiken voor factoring.

Plaats eerst een van uw P / Q's in een klein vakje of een reeks haakjes, en vermeld vervolgens de coëfficiënten en de constante in een rij ernaast. Als de polynoom een ​​kracht overslaat (x ^ 2 + 2), moet je een 0 toevoegen voor waar x1 had moeten zijn.

(Uitdrukking: 3x ^ 3 + 8x ^ 2-9x + 2)

(Negeer de sterretjes, ze worden gebruikt als tijdelijke aanduidingen. Beter nog, zie de eerste afbeelding.)

(1) 3 8-9 2



Laat een spatie open, trek een lijn en zet de eerste term, 3, neer.

(1) 3 8-9 2


*** 3

Vermenigvuldig het dan met het nummer in de doos en zet het onder de volgende term.

(1) 3 8-9 2
****** 3

*** 3

Voeg 8 + 3 toe

(1) 3 8-9 2
****** 3

*** 3 11

Vermenigvuldigen.

(1) 3 8-9 2
****** 3 11

*** 3 11

Toevoegen.

(1) 3 8-9 2
****** 3 11

*** 3 11 2

Vermenigvuldigen.

(1) 3 8-9 2
****** 3 11 2

*** 3 11 2

Toevoegen.

(1) 3 8-9 2
****** 3 11 2

*** 3 11 2 4

Die reeks getallen, 3, 11, 2, 4, geeft je een uitdrukking met één graad minder (als de hoogste exponent in de oorspronkelijke expressie 3 is, is de hoogste exponent in het quotiënt een 2) en een rest.

(Oorspronkelijke uitdrukking: 3x ^ 3 + 8x ^ 2-9x + 2)

Quotiënt: 3x ^ 2 + 11x + 2 Rest 4

Als je een rest krijgt, is het nummer in het vak dat je hebt geprobeerd geen oplossing voor de vergelijking. Zet dat nummer van uw lijst en probeer het opnieuw met een ander nummer. Het is min of meer gissen en controleren.

Uiteindelijk probeer je 1/3 en je zult merken dat het netjes verdeelt. Je krijgt dan:

(x - 1/3) (3x ^ 2 + 9x - 6).

Nu je een trinominaal van kracht twee hebt, kun je teruggaan en er rekening mee houden. Vergeet niet eerst de GCF te verwijderen! Je blijft zitten met (x - 1/3) (3) (1x ^ 2 + 3x + 2). Factor de trinominale via de kwadratische vergelijking (deze vergelijking werd als voorbeeld gebruikt in stap [6], dus verwijs zo nodig terug). Je krijgt dan (3) (x - 1/3) (x - ((-3 + sqrt 17) / 2)) (x - ((-3 - sqrt 17) / 2)). Heel lelijk, maar zo doe je het.

Stap 9: Factoring verder: Irrationals en Imaginaries

Binominale getallen zonder dat een perfecte wortel wordt afgetrokken van een gekwadrateerde variabele zoals (x ^ 2 - 2) kunnen verder worden verwerkt met behulp van vierkantswortels. (x + sqrt (2)) (x - sqrt (2)). Dit brengt de irrationele reeks getallen binnen.

Binomials met een nummer toegevoegd aan een gekwadrateerde variabele zoals (x ^ 2 + 1) kunnen verder worden verwerkt met behulp van imaginaire getallen. 'i' staat voor de vierkantswortel van de negatieve. Dus (x ^ 2 + 1) kan worden verwerkt in (x + i) (x - i). Dit brengt de denkbeeldige reeks getallen binnen.

Stap 10: Huzzah!

U weet nu hoe u elk nummer of elke uitdrukking die u waarschijnlijk ooit zult tegenkomen, kunt beïnvloeden. Goed voor je!

Er zijn ook programma's die dit voor u kunnen doen. Als je "polyroot" google, krijg je links naar een paar programma's voor je computer. De HP 39 / 40gs grafische rekenmachines hebben de polyroot-functie ingebouwd. Als u een TI-89 grafische rekenmachine heeft, heeft deze ook een factoring-functie. Eerder model TI grafische rekenmachines hebben het niet ingebouwd, maar ze hebben wel factoringprogramma's. Google "ti quadratic solver" voor programma's die u kunt overzetten naar uw TI grafische rekenmachine.

U kunt ook echte oplossingen voor kwadratische vergelijkingen vinden door ze te tekenen en de functie 'nul' te gebruiken om te berekenen waar de grafiek de x-as snijdt. U kunt dat nummer dan naast een "x -" plakken.

Disclaimer: De meeste wiskundelessen staan ​​rekenmachines die een factor kunnen zijn niet toe, of laten u het geheugen (samen met programma's) van programmeerbare rekenmachines wissen. Als er oplossingen zijn die een niet-natuurlijke wortel bevatten, krijgt u ook een lange reeks decimalen die niet geschikt is als antwoord. Leer gewoon hoe u het met de hand moet doen.

Verwante Artikelen